Đặt vế trái là P

Ta có: \(P\le x^2y+y^2z+z^2x+xyz\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2+yz\le xy+xz\)

\(\Rightarrow x^2y+y^2z\le xy^2+xyz\)

\(\Rightarrow P\le xy^2+z^2x+2xyz=x\left(y^2+z^2+2yz\right)=x\left(y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.2x\left(y+z\right)\left(y+z\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{2x+y+z+y+z}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};0;\frac{2}{3}\right)\)

Đề bài sai, phản ví dụ: \(x=y=\dfrac{1}{16};z=256\)

Nói chung, chỉ cần 2 biến đủ nhỏ là BĐT này đều sai

Do \(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx-2xyz=xy\left(1-z\right)+yz\left(1-x\right)+zx\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị

Mặt khác do vai trò của x;y;z là hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow1=x+y+z\ge3x\Rightarrow0\le x\le\frac{1}{3}\)

\(P=x\left(y+z\right)+yz\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+yz\left(1-2x\right)\)

\(P\le x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(y+z\right)^2\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(1-x\right)^2\left(1-2x\right)\)

\(P\le\frac{-2x^3+x^2+1}{4}=\frac{-2x^3+x^2+1}{4}-\frac{7}{27}+\frac{7}{27}\)

\(P\le-\frac{\left(1-3x\right)^2\left(6x+1\right)}{108}+\frac{7}{27}\le\frac{7}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Lời giải:

Chứng minh \(xy+yz+xz-2xyz\leq \frac{7}{27}\)

Theo BDDT Schur ta có \(xyz\geq (x+y-z)(z+x-y)(y+z-x)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)\)

\(\Leftrightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+xz)-1\)

Do đó \(A=xy+yz+xz-xyz\leq xy+yz+xz-\frac{8}{9}(xy+yz+xz)+\frac{2}{9}=\frac{xy+yz+zx}{9}+\frac{2}{9}\)

Theo AM-GM dễ thấy \(1=(xy+yz+xz)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow A\leq \frac{7}{27}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Chứng minh \(xy+yz+xz-2xyz\geq 0\)

Do $x,y,z\geq 0$ nên

\(A=xy(1-z)+yz(1-x)+xz=xy(x+y)+yz(y+z)+xz\geq 0\)

Dấu bẳng xảy ra khi \((x,y,z)=(0,0,1)\) và các hoán vị của nó

a: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-2y+z=3\\2x+y-2z=-3\\3x-4y-z=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-4y+2z=6\\8x+4y-8z=-3\\3x-4y-z=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}12x-6z=3\\11x-9z=1\\3x-4y-z=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\z=\dfrac{1}{2}\\4y=3x-z-4=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}-4=1-4=-3\end{matrix}\right.\)

=>x=1/2;z=1/2;y=-3/4

a/ \(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2}}+\left(x+1\right)\left(\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}-1\right)+2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}+1}+2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{x+1}{\sqrt{1+\frac{2x+1}{x^2+2}}+1}+1\right)=0\)

\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

b/ \(Q\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{x+y+z}{xyz}+\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2}\)

\(Q\ge\frac{27\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^3}+\frac{\left(x+y+z\right)^6}{27\left(x+y+z\right)^2}=\frac{27}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}\)

\(Q\ge\frac{27}{64\left(x+y+z\right)^2}+\frac{27}{64\left(x+y+z\right)^2}+\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}+\frac{837}{32\left(x+y+z\right)^2}\)

\(Q\ge3\sqrt[3]{\frac{27^2\left(x+y+z\right)^4}{64^2.27\left(x+y+z\right)^4}}+\frac{837}{32.\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{195}{16}\)

"=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)

Nguyễn Trúc Giang, Duy Khang, Vũ Minh Tuấn, Võ Hồng Phúc, tth, No choice teen, Phạm Lan Hương,

Nguyễn Lê Phước Thịnh, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma

giúp em vs ạ! Cần trước 5h chiều nay ạ

Thanks nhiều

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(x^3+y^3+z^3+6xyz\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{4}\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+6xyz\ge x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\)

Mặt khác theo BĐT Schur thì:

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\).

Do đó điều trên luôn đúng. BĐT dc chứng minh.